ELETROMAGNETISMO

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Indução eletromagnética

Texto-base

ENERGIA ELETROMAGNÉTICA

INTRODUÇÃO

A energia eletromagnética é uma das muitas formas de energia. Como tal ela pode ser armazenada, transportada e transformada em outras formas de energia. A energia eletromagnética é armazenada no espaço. Daí a relevância de definirmos para ela uma densidade. Em geral ela não é distribuída uniformemente. A energia eletromagnética pode fluir de uma região do espaço para outra. Com isso estamos tratando da questão do seu transporte. Nesse capítulo analisaremos a questão da energia eletromagnética.

Em particular, encontraremos uma expressão para o fluxo de energia que flui, e uma expressão para a densidade de energia no espaço. O ponto de partida de tal análise será a determinação da taxa com que energia eletromagnética é dissipada.

Figura 1. Duas cargas elétricas em interação adquirem energia.

Conservação da energia

A conservação de determinadas grandezas físicas pode ser formulada em termos de conceitos bastante gerais. Considere um volume V do espaço delimitado por uma superfície A. Imaginemos primeiramente que a energia não seja dissipada. Nesse caso a lei que estabelece a conservação da quantidade de energia seria da forma:

(1)

Ou seja, a quantidade de energia que está dentro do volume mais a quantidade de energia que saiu (ou entrou pela superfície A é igual á energia total a qual no momento estamos admitindo como sendo constante). Isto é,

(2)

Figura 2. A soma da energia dentro mais aquela parcela que sai é uma constante. Essa é a base para uma lei de conservação.

A quantidade de energia dentro de um volume V pode ser escrita como a integral sobre o volume de uma densidade de energia

(3)

A quantidade de energia que atravessa uma superfície (e que, portanto, deixa o volume V) deverá ser expressa como o fluxo de um vetor sobre uma superfície. Tal vetor recebe o nome, no eletromagnetismo, de vetor de Poynting. Essa grandeza é representado pelo vetor $\overset{⇀}{S}$ . O vetor de Poynting dá o quanto de energia flui através da superfície. Tanto pode ser a quantidade que sai (como estamos admitindo) como a quantidade que entra. Dessa forma escrevemos:

(4)

Assim, se a energia for conservada, essa conservação será descrita pela equação:

(5)

Utilizando-nos agora do teorema de Gauss, podemos escrever o fluxo do vetor de vetor de Poynting como uma integral sobre o volume. Isto é:

(6)

Como o volume V é um volume arbitrário, conclui-se que o princípio da conservação de energia pode ser expresso através da equação:

(7)

Note-se a semelhança da equação acima com a equação da continuidade.

Para deduzirmos as expressões explicitas para a densidade de energia eletromagnética e para o vetor de Poynting, devemos analisar a questão da dissipação da energia eletromagnética. Isso será feito na próxima secção.

TRANSFORMANDO A ENERGIA ELETROMAGNÉTICA

A energia eletromagnética pode ser transformada em outras formas de energia. Em se tratando de energia calorífica o termo mais apropriado seria dissipando energia eletromagnética. Essa energia será denominada de $E_{t r a n s}$ .

A taxa com que a energia é transformada é dada pela taxa com que trabalho realizado pelas fôrças eletromagnéticas. Assim escrevemos:

(8)

Levando-se em conta a possibilidade de transformações de uma forma de energia em outra a conservação da energia agora será expressa assim:

(9)

A expressão acima é bem simples de entender. Ela estabelece que a taxa com que a energia eletromagnética varia é igual á taxa com que ela é convertida em outras formas de energias. Para determinarmos as taxas com que se realiza trabalho, lembramos que para uma dada força a taxa, por unidade de tempo, com que trabalho é realizado é dada pelo produto escalar da força vezes a velocidade.

(10)

Considerando-se uma partícula de carga q, e dotada de uma velocidade , movendo-se numa região do espaço na qual existe um campo elétrico e um campo magnético, a força eletromagnética agindo sobre ela será:

(11)

Consequentemente,

(12)

O fato do campo magnético não comparecer na expressão acima significa que o campo magnético não realiza trabalho. Ou seja, a potência associada à força magnética é nula.

Para um conjunto de cargas distribuídas num volume com uma certa densidade e com diferentes velocidades em cada ponto, o análogo da expressão (12) é:

(13)

Onde agora o primeiro termo representa a taxa com que trabalho é realizado, mas taxa essa por unidade de volume. Com isso vemos que a equação para conservação da energia agora se escreve:

(14)

Figura 3. Energia elétrica pode ser transformada em outras formas de energia.

DENSIDADE DE ENERGIA, E O VETOR DE POYNTING

A partir da taxa com que a energia eletromagnética é transformada, pode-se utilizar as equações de Maxwell para determinarmos a densidade de energia no campo eletromagnético bem como o vetor de Poynting. A partir dessas grandezas físicas pode-se obter a densidade de momento e a taxa com que momento é carregado pelo campo eletromagnético que flui. Utilizando a equação de Maxwell-Ampére podemos escrever o vetor densidade de corrente como uma soma envolvendo dois termos:

(15)

E, portanto, o termo que dá a taxa com que os campos eletromagnéticos realizam trabalho por unidade de volume se escreve como:

(16)

Utilizando agora a identidade vetorial:

(17)

Bem como a lei de Faraday, temos agora que,

(18)

E, portanto, de (18) podemos escrever que a taxa de trabalho realizado, por unidade de volume, pelos campos eletromagnéticos é:

(19)

Para meios lineares, podemos escrever:

(20)

Assim, inferimos que, de acordo com (20), a densidade de energia no campo magnético é dada por:

(21)

Figura 4. Onde houver campo magnético, aí haverá energia elétrica distribuída.

Onde houver campo elétrico ou campo magnético aí haverá energia. Energia distribuída no espaço e que o vetor de Poynting é dado por:

(22)

Finalmente, é importante frisar que ao fluxo de energia corresponde também, no caso do campo eletromagnético um fluxo de momento. Como a relação entre momento e a energia no caso dos fótons é: .

(23)

É de se esperar uma relação simples entre o fluxo de momento transportado pelas ondas eletromagnética e o fluxo de energia. De fato, com base em argumentos sobre conservação do momento no campo eletromagnético, pode-se mostra que a seguinte relação entre a densidade do momento e o vetor de poynting é válida:

(24)

Onde na equação acima é a densidade de momento do campo eletromagnético.

Figura 5. Indutores armazenam energia magnética. Capacitores armazenam energia elétrica.

ENERGIA E MOMENTO TRANSPORTADOS POR ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

Uma das aplicações mais importantes, do ponto de vista prático, das equações acima, diz respeito à propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo. Isso porque ela nos permite entender o mecanismo de transmissão de energia eletromagnética do sol para o nosso mundo. Essa energia faz toda a diferença do ponto de vista da manutenção da vida no nosso planeta. O sol emite radiação eletromagnética cobrindo todo o espectro eletromagnético. È uma radiação típica de radiação do corpo negro.

Considerando-se uma onda eletromagnética plana e considerando a parte real do campo, podemos escrever os campos elétrico e magnético sob a forma:

(25)

(26)

O vetor de Poynting é um vetor na direção de propagação da onda (na direção do vetor de onda). Obtemos:

(27)

A densidade de energia, para a onda plana descrita por (25) e (26), é dada pela expressão

(28)

Definimos a intensidade da onda eletromagnética (I) como a média, num período, do módulo do vetor de poynting. Isto é,

(29)

Onde a média no tempo de uma grandeza física (f), ao longo de um período, é definida como a integral dessa grandeza dividida pelo período. Ou seja:

(30)

Da definição acima e da definição (30) segue que,

(31)

Enquanto que a densidade de energia média é dada por:

(32)

A conclusão é que a taxa com que a energia é transportada do Sol para a Terra, por unidade de área, é a intensidade a qual no caso de uma onda plana é dada por:

(33)

Enquanto que a densidade média, no tempo, da densidade de energia é dada, em função da amplitude do campo elétrico, por:

(34)

Momento é igualmente transportado pelo campo elétrico e sua densidade, para uma onda plana é:

(35)

Figura 6. Ondas eletromagnéticas transportam energia.

ENERGIA NO CAMPO ELÉTRICO

Quando temos cargas elétricas distribuidas numa certa região do espaço, se tem energia acumulada nessa região.

Essa energia, energia elétrica, se acumulou porque no processo de agruparmos cargas no espaço, realizamos um certo trabalho. Trabalho esse que pode ser calculado a partir das forcas elétricas. Conseqüentemente, energia de algum tipo foi dispendida para colocar essas cargas na posição na qual elas se encontram. Não nos interessaremos pela natureza da energia que foi dispendida. Ao calcularmos o trabalho, determinamos apenas o quanto foi dispendida e, como consequência, determinamos o quanto de energia foi acumulada.

ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇAO DISCRETA

Lembremo-nos primeiramente que se uma partícula de carga $Q_{1}$ estiver numa região do espaço na qual ela esteja sujeita a um potencial $V (\overset{⇀}{r})$ então o trabalho realizado pela força elétrica ao deslocarmos essa partícula de um ponto de referencia $\overset{⇀}{r_{0}}$ até um ponto $\overset{⇀}{r}$ é dada por:

(36)

Vamos utilizar a expressão acima para determinarmos não apenas a energia de uma partícula como também a energia total do sistema envolvendo uma distribuição de partículas. Visando um melhor entendimento, iniciaremos a análise primeiramente para o caso de apenas duas partículas.

Dada uma partícula numa posição dada pelo vetor $\overset{⇀}{r_{2}}$ , o trabalho realizado para trazermos outra partícula desde o ponto de referencia $\overset{⇀}{r_{0}}$ até a posição $\overset{⇀}{r_{1}}$ é dada por:

(37)

Na expressão acima utilizamos o potencial como sendo aquele devido á existência da outra partícula, a qual admitimos puntiforme.

Definimos a energia eletrostática associada a duas partículas como a grandeza física dada pelo trabalho associado ao deslocamento de qualquer uma delas desde o infinito . Com isso, a energia eletrostática do conjunto de duas partículas será dada pela expressão:

(38)

Observe-se que agora essa energia não á energia de uma ou de outra partícula. É uma energia associada á existência das duas cargas em posições distintas. A expressão acima pode ser escrita como:

(39)

Onde o fator ½ é necessário, na expressão acima, para que não haja uma contagem dupla. Para quaisquer pares de partículas numa distribuição podemos falar de uma energia associada a esse para (par i,j) energia essa que já sabemos é dada por:

(40)

Assim, a energia de uma distribuição discreta de cargas elétricas é dada por:

(41)

Novamente, o fator ½ é importante para se evitar uma contagem em dobro as contribuições associadas a cada par de partículas.

A soma acima pode ser escrita como uma soma envolvendo o produto da carga de cada partícula, vezes o potencial produzido pelas demais desde que calculado na posição de cada uma delas. Em outras palavras, escrevemos

(42)

O potencial produzido pelas demais na posição da i-ésima partícula é dado por:

(43)

A expressão nos permite agora fazer uma extensão para uma distribuição discreta de cargas.

Para isso vamos dividir a distribuição em elementos infinitesimais de volume dV. Cada elemento de volume contem uma carga infinitesimal dQ. A contribuição para a energia dE de uma carga infinitesimal dQ na posição dada pelo vetor de posição $\overset{⇀}{r}$ é dada por:

(44)

Expressando a carga infinitesimal em termos da densidade e do elemento de volume infinitesimal e efetuando a soma (a integra, portanto), obtemos para a energia armazenada numa distribuição de cargas a seguinte expressão:

(45)

DENSIDADE DE ENERGIA ELÉTRICA

Pode-se expressar a energia eletrostática como uma integral sobre uma densidade de energia de tal forma que essa densidade seja dada em termos do campo elétrico existente no espaço. De fato, utilizando-nos da lei de Gauss da eletrostática podemos escrever a expressão para a energia sob a forma:

(46)

Lembrando agora a identidade, envolvendo derivadas parciais, quando consideramos produto de funções:

(47)

Vemos que podemos escrever a expressão sob a forma de dois termos:

(47)

O primeiro termo dá uma contribuição nula. No segundo termo, podemos identificar o último termo do produto como sendo o campo elétrico. Chegamos assim, à expressão:

(48)

A conclusão é que numa região na qual existe um campo elétrico, existe energia armazenada de tal forma que a densidade de energia é dada por:

(49)

Uma importante conclusão a ser tirada das expressões acima é que num meio dielétrico a energia armazenada é $k$ vezes maio do que se esse meio fosse o vácuo. E isso ocorre porque

(50)

Onde $k$ é a constante dielétrica do meio. Vemos assim que um meio dielétrico aumenta a capacidade de se armazenar energia eletrostática.

ENERGIA MAGNÉTICA

Energia Magnética num Circuito

Consideremos um circuito no qual uma corrente I flui através dele. Se o fluxo do campo magnético produzido por tal corrente varia, teremos uma força eletromotriz $ϵ$ induzida no circuito. Assim, se quisermos manter a corrente I constante as fontes de correntes, as baterias, devem realizar trabalho (W) a uma taxa dada por:

(51)

O primeiro termo representa perdas associadas ao efeito Joule enquanto o segundo é relevante nas considerações sobre energia armazenada num circuito. Ao levarmos em conta tão somente esse termo, vemos que se o fluxo experimenta uma variação $d φ_{B}$ , o trabalho realizado pela fonte para manter uma corrente constante I é:

(52)

O incremento do trabalho realizado pela fonte contra a força eletromotriz induzida implica numa variação de energia magnética dada por:

(53)

O incremento de energia ao variarmos $\overset{⇀}{B}$ desde um valor inicial zero (mantendo a corrente elétrica sempre constante) até um valor final $\overset{⇀}{B}$ , é dado por:

(54)

Lembrando que $LaTeX: \vec{B}=\nabla\:\times \vec{A}$ e utilizando o teorema de Stokes, podemos escrever a seguinte expressão para a energia armazenada no circuito:

(55)

(56)

Consideremos agora a situação em que o circuito se inicie com uma corrente nula e atinja um valor I final. A taxa em que as fontes realizam trabalho é dada pela expressão (...). Contudo, no caso em que a corrente varia, é de se esperar que a força eletromotriz induzida seja proporcional a taxa em que a corrente elétrica varia. Escrevemos:

(57)

L é o coeficiente de auto-indutância. Tal coeficiente depende, essencialmente, da geometria do circuito. A variação de energia, de acordo com a expressão (...) é:

(58)

Assim, a energia armazenada no circuito quando a corrente atinge o valor I é dada por:

(59)

Indutâncias e Energia Magnética de N circuitos

Analisemos agora o caso da energia magnética de N circuitos. Consideraremos primeiramente o caso de dois circuitos. Consideremos a força eletromotriz induzida no circuito 1 devido à passagem de uma corrente $I_{2}$ no circuito 2. A expressão para tal f.e.m é:

(60)

O potencial vetor $\overset{⇀}{A}$ é aquele associado a uma corrente $I_{2}$ percorrendo o circuito 2. Sabemos que a expressão para o potencial vetor, nessas circunstâncias é:

(61)

Substituindo-se a expressão acima em (...) podemos verificar que a força eletromotriz no circuito 1 será dada por:

(62)

$m_{12}$ é uma constante dependendo apenas da geometria dos circuitos. Ela é denominada coeficiente de indução mútua e pode ser determinada a partir da expressão:

(63)

DENSIDADE DE ENERGIA MAGNÉTICA

A expressão para a energia magnética associada a uma corrente de intensidade I pode ser generalizada para a energia magnética associada a uma região no espaço na qual existe uma densidade de corrente. De fato, o termo $I d \overset{⇀}{l}$ pode ser escrito:

(64)

dq é a carga elétrica que passa numa seção transversal do fio, num intervalo de tempo dt. Lembrando que $d \overset{⇀}{l}$ é tangente ao fio, pode-se escrever a expressão (...), de uma forma alternativa, em termos da velocidade da carga que flui:

(65)

Pensando agora numa situação na qual cargas elétricas estão distribuídas no espaço com velocidades variando de ponto a ponto, de (...) vemos que, nesse caso, basta substituir

(66)

De fato, e de uma maneira pouco rigorosa, podemos interpretar a carga dq em (...) como se fora a carga de uma região do espaço de volume dV. Assim, escrevemos:

(67)

Consequentemente, escrevemos a energia magnética associada a uma região do espaço na qual existe uma densidade de corrente $\overset{⇀}{J}$ , como:

(68)

Lembrando a equação fundamental da eletrostática:

(69)

Portanto, a energia magnética pose ser escrita em termos dos campos $LaTeX: \vec{H}\:e\:\vec{A}$ :

(70)

Lembrando a identidade:

(71)

E, portanto, lembrando que $LaTeX: \vec{B}=\nabla\:\times \vec{A}$ , a energia pode ser escrita como duas integrais de volume:

(72)

O volume V pode ser tomado como sendo todo o espaço (na realidade pode ser qualquer volume que contenha a distribuição de correntes). Nessas circunstâncias, a superfície S tem um raio infinito. Admitindo um comportamento dos campos $LaTeX: \vec{H}\:e\:\vec{A}$ decrescentes no infinito, a energia é dada por:

(73)

O volume agora é tomado como sendo aquele de todo o espaço.

A densidade de energia magnética é:

(74)

A energia magnética permeia todo o espaço, com uma densidade dada por (21).